ALGEBRA: Segno di un l-ciclo

SEGNO DI UN L-CICLO:

enunciato

Sia n>=2 . Una trasposizione tau = ( i ~ j ) in S_n è una permutazione dispari .
Il segno di un l-ciclo sigma=(x_1~x_2~...~x_l) in S_n è $(-1)^{l-1}$

dimostrazione

Sia un qualunque 2-ciclo (i~j) in S_n

con

e considero la permutazione sigma

che manda

.
Calcolando il segno del coniugio $sigma ( i ~ j ) sigma^{-1} = ( 1~2)$ si ha che $sgn(1~2)=sgn(sigma (i~j) sigma^{-1})$ = $sgn(sigma)sgn(i~j)sgn(sigma^{-1})$ = $sgn(i~j)sgn(sigma)sgn(sigma^{-1})$ =

.
Quindi

La procedura si può ripetere sul 3-ciclo ( 1 ~ 2 ~3)

ottenendo che sigma(1 ~ 2 ~3)=sigma(i ~ j ~k)

ma in questo caso ( 1 ~ 2 ~3)

è prodotto di due cicli non disgiunti ( 1 ~ 2)(2 ~3)

quindi

In generale qualunque l-ciclo $( a_1 ~ a_2 ~...~ a_l)= ( a_1~a_2)( a_2~a_3)...( a_{l-1}~a_l)$ e quindi il segno risulta essere $sgn( a_1 ~ a_2 ~...~ a_l)=(-1)^{l-1}$

C.V.D.

Ciclo

Sia sigma in S_n dove S_n è il gruppo simmetrico con $delim{|}{S_n}{|} =n!$ e sigma è una funzione biietiva che manda gli elementi di S_n in sè.
Considero $M_sigma=delim{lbrace}{i: 1<=i<=n, sigma(i)<>i}{rbrace}$ cioè gli elementi che vengono mossi dalla permutazione sigma
sigma viene detto -ciclo con $delim{|}{M_sigma}{|}=l$ è il suo ordine è proprio e si scrive come sigma=(a_1,a_2,...a_l)
Un 2-ciclo sigma=(i ~ j) è detto trasposizione e trasposizione semplice se sigma=(i~i+1)

proprietà

Ogni 3-ciclo è prodotto di 3-cicli semplici.

Ordine

L'ordine di un elemento g in G è la cardinalità del gruppo bbZ / m bbZ isomorfo al gruppo ciclico <> da lui generato, cioè m<>0 quando <> è finito

proprietà

Per il Teorema di Lagrange |
$g^{delim{|}{G}{|}}=e_G$ infatti se si ha che $g^{ord(g)k}=(g^{ord(g)})^k=e_G^k=e_G$
Se allora | cioè ovvero è multiplo di (Teorema di Eulero generalizzato)
L'ordine di un prodotto di cilci disgiunti è il massimo comun divisore degli ordini dei cicli.

Gruppo ciclico

Sia g in G e considero il morfismo f:bbZ right G , scegliendo 1 right g tutto il resto è determinato: 2=1+1 right gg=g^2
Per il Teorema di Isomorfismo bbZ / m bbZ è isomorfo a $Im(f)=delim{lbrace}{e_G,g,g^2,g^3,...,g^{-1},g^{-2},...}{rbrace}$ che è un sottogruppo di chiamato gruppo ciclico ed indicato con <>, scegliendo tutto il resto è determinato:

proprietà

Un gruppo di ordine primo è ciclico ed isomorfo /
Sia ciclico
1. Se allora è ciclico
2. Se è finito e | Allora ! con <
3. Se è finito e | gli elementi di ordine sono
4. Se è finito e e | ci sono elementi di ordine in

Teorema di Eulero generalizzato

Sia bbZ / m bbZ * l'insieme delle classi laterali di bbZ che hanno un rappresentante relativamente primo con , la sua cardinalità è pari a varphi(m)
Sia a in bbZ / m bbZ * e quindi gcd(a,m)=1 , per la seconda proprietà dell'ordine di un gruppo ho che $a^{varphi(m)}+m bbZ=e_G+m bbZ$ ma e_G=1 in bbZ / m bbZ *
Quindi $a^{varphi(m)}+m bbZ=1+m bbZ$ cioè $a^{varphi(m)}$ = mod m
(Teorema di Eulero)

Teorema di Lagrange

Sia finito e H<=G allora delim{|}{G}{|}=delim{|}{H}{|} |/|

Segno di un morfismo

Il segno è un morfismo $sgn: S_n right delim{lbrace}{1,-1}{rbrace}$ tale che $sgn(sigma)=(-1)^{n(sigma)}$ dove è il numero di inversioni di sigma

Coniugio di una permutazione

Sia tau in S_n , il coniugio tramite tau è $tau (x_1 ~ x_2 ~ ... ~ x_l) tau^{-1}$ ed è il ciclo (tau(x_1) ~ tau(x_2) ~ ... ~ tau(x_l))

esempio

$tau=(matrix{2}{4}{1 2 3 4 3 1 2 4}) in S_4$ . Coniugando tramite tau la permutazione (3~ 4) risulta (tau(3)~tau(4))=(2 ~4)

Inversione

Sia $sigma=(matrix{2}{3}{1 cdots n {sigma(1)} cdots {sigma(n)}}) in S_n$ .
Un'inversione avviene quando sigma rovescia una relazione d'ordine nei numeri naturali:
data una coppia (i,j) con i<j e 1<i,j<=n si ha un'inversione se sigma(i)>sigma(j)
Il numero totale delle inversioni presenti in sigma viene indicato con n(sigma)

esempio

$sigma=(matrix{2}{5}{1 2 3 4 5 3 4 1 2 5}) in S_5$ .
(1,2)right (3,4) no
(1,3)right (3,1) sì
(1,4)right (3,2) sì
(1,5)right (3,5) no
(2,3)right (4,1) si
(2,4)right (4,2) sì
...
n(sigma)=4

Gruppo quoziente

/ è un gruppo se è un sottogruppo normale di ed è chiamato gruppo quoziente.

Classe laterale

Sia un gruppo e , è una classe laterale sinistra di g in G rispetto ad
/ è l'insieme di tutte le classi laterali sinistre forall g in G rispetto ad

Sottogruppo

Sia ,* un gruppo ed H subset G
è sottogruppo di cioè H<=G se:

*:cioè l'operazione di è interna ad
,* è un gruppo.

Sottogruppo normale

Sia , è un sottogruppo normale se $gHg^-1=delim{lbrace}{ghg^-1 : h in H}{rbrace}=H$

proprietà

Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

Nucleo

Dato un morfismo f:G right H con G,H gruppi, il nucleo è definito come
Ker(f)=delim{lbrace}{g in G: f(g)=e}{rbrace}
cioè tutti gli elementi che vengono mandati nell'elemento neutro di

proprietà

Il nucleo di un morfismo f:G right H è un sottogruppo normale di

dimostrazione

Ker(f) è sottogruppo di G in quanto se k_1,k_2 in Ker(f) vale che k_1k_2^-1 in Ker(f) perchè f(k_1k_2^-1) = f(k_1)f(k_2^-1) = f(k_1)f(k_2)^-1 =e_H e_H^-1=e_H
Ma Ker(f) è anche sottogruppo normale perchè forall k in Ker(f) e forall g in G vale che gKg^-1 in Ker(f) per la terza proprietà dei sottogruppi normali.
Infatti f(gkg^-1) = f(g)f(k)f(g) = f(g)f(g^-1) = f(g)f(g)^-1=e_H

Monomorfismo

f:G right H è un morfismo iniettivo se e solo se $Ker(f)=delim{lbrace}{e_G}{rbrace}$

dimostrazione

[Se]
f(e_G)=e_H perchè è un morfismo e nessun altro elemento viene mandato in e_H altrimenti non sarebbe iniettiva quindi $Ker(f)=delim{lbrace}{e_G}{rbrace}$

[solo se]
Siano g_1,g_2 in G e suppongo f(g_1)=f(g_2) . Se fosse iniettiva avrei g_1=g_2 .
f(g_1)f(g_2)^-1=e_H = f(g_1g_2^-1) quindi g_1g_2^-1 in Ker(f) per definizione di nucleo cioè g_1g_2^-1=e_G .

TITOLO

TESTO LINK