Un campo finito ha elementi dove primo ed è la caratteristica del campo.
C.V.D.
L'anello è un campo se *=/
Esiste un unico morfismo e, per il Teorema di Isomorfismo, in qualunque anello vive un sottoanello isomorfo a / / può essere uguale a / e allora si dice che la caratteristica di è infinita, oppure a / dove è la caratteristica di e si scrive
Sia la mappa con ,,* anelli è un morfismo di anelli se è un morfismo di gruppi , e e
Il Teorema di Isomorfismo di gruppi vale anche negli anelli.
Dato un dominio , Se * è sottogruppo finito allora è ciclico.
Sia e considero il morfismo , scegliendo tutto il resto è determinato: Per il Teorema di Isomorfismo / è isomorfo a che è un sottogruppo di chiamato gruppo ciclico ed indicato con <>, scegliendo tutto il resto è determinato:
Sia un anello di polinomi a coefficienti in quindi . Considero il morfismo valutazione in la funzione che associa: Dire che è radice di un polinomio significa che
,,* è un sottoanello se:
,,* è un anello se:
con Si può definire una funzione (morfismo) norma: dove
è fattorizzabile
è un dominio che ha solo ideali principali.
Un anello commutativo è un dominio se non ha divisori dello zero: se e solo se o o o entrmbi.
In un dominio primo implica irriducibile.
Sia anello. è divisore di se con tale che
/ è divisore dello zero perchè *
Un ideale è principale se è generato da un solo elemento: t.c. cioè è l'insieme di tutte le combinazioni lineari a coefficienti in
Un ideale massimale è un ideale che non è contenuto in nessun altro ideale proprio dell'anello: se è massimale e allora .
/ è un campo se e solo se è massimale.
Dato un anello e sia , sottogruppo rispetto alla somma è un ideale se vale la "proprietà di spugna": , si ha che
Se è una unità allora
L'ideale è generato da con
è un dominio euclideo se esiste una funzione tale che e tali che con oppure
ED implica PID L'algoritmo di Euclide funziona in qualunque dominio euclideo. Un anello di polinomi a coefficienti in un campo è un dominio euclideo e la sua funzione euclidea è il grado.
In la funzione è chiamata modulo In è la norma.
è un morfismo iniettivo se e solo se
[Se] perchè è un morfismo e nessun altro elemento viene mandato in altrimenti non sarebbe iniettiva quindi [solo se] Siano e suppongo . Se fosse iniettiva avrei . = quindi per definizione di nucleo cioè .
Siano due gruppi è un morfismo di gruppi se: è iniettiva se e solo se = e si diche che è un monomorfismo Se è suriettiva si diche che è un epimorfismo Se è biiettiva si diche che è un isomorfismo
cioè l'immagine di è un sottogruppo di
Sia sottoinsieme di non vuoto e prendendo anche Ma e con Allora = che è un elemento dell'immagine di perchè .
Sia ,* un gruppo ed è sottogruppo di cioè se:
Data una struttura algebrica di un insieme su cui è definita un'operazione *:. ,* è un gruppo se:
In un anello di polinomi a coefficienti in un campo si può utilizzare la stessa definizione di elemento irriducibile grazie al fatto che si tratta di un dominio euclideo, quindi un PID e quindi un UFD.
è irriducibile se e solo se è massimale
PID implica UFD In un PID è irriducibile se e solo se è primo.
Un UFD è un dominio dove ogni elemento si scrive in modo unico come prodotto di irriducibili L'unicità è garantita dal fatto che gli irriducibili sono primi, infatti PID implica UFD.
Sia dominio, è primo se * e se | allora o | oppure |.
Sia dominio, è irriducibile se * e se allora o * è una unità oppure * è una unità.
dominio, è irriducibile se * e se allora o * è una unità oppure * è una unità.
L' n-esimo polinomio ciclotomico è un polinomio formato da tutte e sole le radici n-esime primitive dell'unità: con
I polinomi ciclotomici sono polinomi a coefficienti in su |
è radice n-esima primitiva dell'unità se e Le radici n-esime primitive dell'unità sono
è radice n-esima dell'unità se Le radici n-esime primitive dell'unità sono
è un anello dei polinomio a coefficienti nell'anello commutativo è formato da tutte le funzioni tale che per Utilizzando una notazione più compatta si ha che: Si può definire una funzione grado / ma in generale non vale la regola dei gradi a meno che sia un dominio.
In / considero dove fallisce la regola dei gradi perchè